Counts Converge, Spacings Do Not: A Two-Level Decomposition of Hardy-Littlewood Deviations in Twin Prime Residue Classes

Motivation

• Known: Hardy-Littlewood conjecture는 twin prime의 전역적 점근 밀도를 singular series 상수 2C2를 통해 예측하며, Brent와 Oliveira e Silva 등에 의해 수치적으로 검증되어 왔다. 그러나 이 상수는 mod 210의 15개 유효 잔여류를 구분하지 않고 동일하게 취급한다.
• Gap: Hardy-Littlewood conjecture는 잔여류별 개수 비율에 대해서는 암묵적으로 균등 분포(1/15)를 예측하지만, 잔여류별 gap(간격) 분포에 대해서는 아무런 예측도 하지 않는다. 또한 count 수렴과 spacing 균일성이 독립적인 문제라는 점, 그리고 Lemke Oliver-Soundararajan anti-persistence bias가 이 spacing 편차의 대안적 설명이 될 수 있는지도 검증되지 않았다.
• Why: 이 연구는 잘 알려진 해석적 수론 conjecture의 세밀한 하위 구조(sub-leading structure)를 데이터 기반으로 발견함으로써, 표준 singular series로 설명되지 않는 고차(higher-order) 현상의 존재를 실증하고, AI4Math 관점에서 symbolic regression을 conjecture 정제(refinement)에 활용하는 재사용 가능한 방법론을 제시한다.
• Approach: 10^9까지 segmented sieve로 3,424,502개의 twin prime 쌍을 전수 열거하고, count-based 편차와 정규화된 gap 편차 ρ(p)=2C2 g(p)/(ln p)^2를 15개 mod-210 클래스별로 분리하여 통계 검정과 두 단계 PySR symbolic regression으로 분석한다.

Achievement

1. 개수 수준에서 Hardy-Littlewood 확인: 15개 클래스의 count 편차는 최대 0.17%에 불과하며 O(1/√N) 통계적 요동과 일치하여, 개수 측면에서 H-L conjecture가 점근적으로 성립함을 확인했다.
2. 간격 수준에서 지속적 편차 발견: 정규화된 gap 편차 ρ(p)는 4-5% 크기로, 15개 클래스 중 14개에서 Bonferroni 보정 후에도 유의(|t| up to 24.2)했으며, 여러 log p 구간에서 Spearman r_S>0.97로 순위가 안정적으로 유지되어 유한-N 인공물이 아님을 보였다.
3. LO&S bias 배제: self-transition rate가 모든 클래스에서 균일하게 1/15 이하로 억제되어 있으며(Spearman r_S=-0.04, p=0.90), gap 편차와 무관함을 확인해 Lemke Oliver-Soundararajan anti-persistence bias가 원인이 아님을 입증했다.
4. Two-stage PySR을 통한 구조 발견: 1단계에서 개별 사례 수준에서 H-L을 재확인하고, 2단계 클래스 수준에서 m70/δ7 항이 상수 baseline 대비 회귀 손실을 76% 줄이는 가장 강력한 수론적 예측 변수임을 발견했다.

How

• Python으로 220-bit 세그먼트 폭의 segmented Sieve of Eratosthenes를 구현하여 10^9까지 twin prime 쌍을 전수 계산
• 각 twin prime p에 대해 ln p, gap g(p), ρ(p), p mod 210/2310, local density λ(p), gprev(p) 등을 저장
• 클래스별 count ratio R_r과 정규화된 gap 편차 ρ의 평균 ¯ρ_r을 정의하고, 귀무가설 E[ρ|class r]=1에 대해 one-sample t-test와 Bonferroni correction(m=15) 적용
• 서로 다른 ln p 하위 구간에서 클래스 순위의 Spearman rank correlation으로 스케일 일관성 검증
• Lemke Oliver-Soundararajan self-transition rate를 클래스별로 계산하여 gap 편차와의 상관관계 분석
• Stage-1 PySR은 per-instance feature(ln p, mod 210/2310, λ(p))로 H-L 공식을 재발견, Stage-2 PySR은 클래스 집계 feature(δ_q(r), m70(r) 등 number-theoretic feature)로 잔차 구조를 탐색

Originality

• Hardy-Littlewood conjecture의 편차를 count 수준과 spacing 수준으로 명시적으로 분리하는 two-level decomposition 프레임을 제시한 점이 독창적이다.
• 잘 알려진 Lemke Oliver-Soundararajan anti-persistence bias를 대안 가설로 직접 검증하고 통계적으로 배제하여, 발견된 gap 편차가 새로운 현상임을 논증한 접근이 신선하다.
• PySR을 per-instance와 class-level의 two-stage로 나누어 적용해, 하나는 기존 conjecture를 재확인하고 다른 하나는 새로운 수론적 항(m70/δ7)을 발견하는 AI4Math 방법론을 제안한 점이 독창적이다.

Limitation & Further Study

• 데이터가 10^9까지로 제한되어 있어, 발견된 gap-spacing 편차가 진정한 점근적(asymptotic) 현상인지 유한 범위 내의 잔여 효과인지 완전히 확정하기 어렵다.
• m70/δ7이라는 발견된 항에 대한 수론적 이론적 근거(왜 이 항이 편차를 설명하는지에 대한 해석적 증명)가 제시되지 않아 경험적 발견에 머무른다.
• 통계적 유의성(Bonferroni 등)에 의존한 검정이 다중 비교 및 잠재적 미고려 교란 변수(confounder)에 취약할 수 있으며, 후속 연구로 더 큰 범위의 데이터 및 해석적 이론 전개가 필요하다.
• symbolic regression으로 발견된 항이 우연적 패턴 적합(overfitting)일 가능성에 대한 교차 검증이 제한적으로 보고된다.

Evaluation

총평: 대규모 전수 계산과 엄밀한 통계 검정을 결합해 Hardy-Littlewood conjecture의 잘 알려지지 않은 잔여류별 gap-spacing 편차를 실증적으로 발견하고 대안 가설(LO&S bias)을 배제한 점에서 견고한 경험적 기여를 하지만, 이 현상에 대한 해석적 설명이나 증명은 향후 과제로 남아 있다.